Anello degli interi

In matematica, l'anello degli interi di un campo di numeri algebrico ${\displaystyle K}$ è l'anello di tutti gli elementi interi contenuti in ${\displaystyle K.}$ Un elemento intero è una radice di un polinomio monico con coefficienti interi ${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots +c_{0}.}$ Questo anello è spesso indicato con ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}.}$ Poiché ogni numero intero appartiene a ${\displaystyle K}$ ed è un elemento intero di ${\displaystyle K,}$ l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ è sempre un sottoanello di ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}.}$

L'anello dei numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ è l'anello degli interi più semplice possibile. Cioè ${\displaystyle \mathbb {Z} ={\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }}$ dove ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ è il campo dei numeri razionali.^[1] In teoria algebrica dei numeri gli elementi di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sono spesso chiamati "interi razionali" per questo motivo.

Il secondo esempio più semplice è l'anello degli interi gaussiani ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ costituito da numeri complessi le cui parti reali e immaginarie sono numeri interi. È l'anello degli interi nel campo di numeri ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ dei numeri complessi le cui parti reali e immaginarie sono numeri razionali. Come gli interi razionali, è un dominio euclideo.

L'anello degli interi di un campo di numeri algebrico è l'unico ordine massimo nel campo. È sempre un dominio di Dedekind.^[2]